[이산수학] 행렬

행렬이란?

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행렬은 하나 이상의 원소를 1차원 또는 2차원의 형태로 나열한 배열을 말한다. 다음 그림은 m행 n열로 나열한 실수의 2차원 배열이다.(m > 0, n > 0)

행렬

행렬의 각각 aij는 행렬의 원소(element) 또는 성분(component)이다. 행렬의 가로줄은 행(row)이고 세로줄은 열(column)이라고 한다.

• 영행렬(zero matrix: O): 행렬의 모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라고 한다.
• n차 정사각행렬(n-square matrix) 또는 정방행렬: m x n 행렬에 대하여 m = n인 행렬을 정사각행렬이라고 한다.
• 주대각원소(main diagonal element): 행렬의 원소 aij 중 i = j인 원소를 주대각원소라고 한다. 즉, 행렬의 왼쪽 위에서부터 오른쪽 아래까지 이어지는 대각선에 위치한 원소들을 말한다.
• 단위행렬(unit matrix: I) 또는 항등행렬: 주대각 원소만 1이고 나머지 원소는 모두 0인 정사각행렬이다.

 

행렬의 연산

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• 행렬의 덧셈과 뺄셈: 행렬의 크기가 m x n인 두 행렬 A, B에서 같은 위치에 있는 원소끼리 더하거나 빼는 연산이다. 주의할 점은 두 행렬의 크기가 같아야 하며 같은 위치에 있는 원소들끼리 연산을 하는 것이다. 연산 결과도 당연히 m x n 행렬이다.
• 스칼라(scalar): 하나의 수로 표현할 수 있는 값을 말한다.
• 행렬의 스칼라곱: 행렬 A에 실수 k를 곱하면 행렬 A의 각각의 원소에 대해 실수 k를 곱해주면 된다.
• 행렬의 곱셈: m x n 행렬 A와 n x r 행렬 B가 있을 때, 두 행렬의 곱셈 연산을 통해 구하는 행렬 C는 m x r 행렬이다. 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

행렬의 곱셈

 

행렬 연산의 성질

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행렬 A, B, C, 영행렬 O, 단위행렬 I와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.

1. A+B=B+A
2. A+(B+C)=(A+B)+C
3. A+O=O+A=A
4. A+(−A)=(−A)+A=O
5. (−1)A=−A
6. k(A+B)=kA+kB
7. (k+l)A=kA+lA
8. (kl)A=k(lA)
9. kAB=(kA)B=A(kB)
10. AI=IA=A
11. AO=OA=O

 

행렬의 종류

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• 대각행렬(diagonal matrix): n차 정사각행렬에서 주대각원소 a11, a22, ..., ann을 제외한 나머지 원소가 모두 0인 행렬이다.
• 전치행렬(transpose matrix: AT): m x n 행렬 A=[aij]의 행과 열의 위치를 바꾼 n x m 행렬이다.

전치행렬

• 대칭행렬(symmetric matrix): n차 정사각행렬 A=[aij]가 있을 때, AT = A인 행렬이다.
• 상삼각 행렬(upper triangular matrix): 주대각 원소의 아래쪽에 있는 모든 원소들이 0인 정방행렬이다.
• 하삼각 행렬(lower triangular matrix): 주대각 원소의 위쪽에 있는 모든 원소들이 0인 정방 행렬이다.
• 삼각 행렬(upper triangular matrix): 상삼각 행렬이거나 하삼각 행렬을 삼각행렬이라고 한다.
• 띠 행렬(band matrix): 주대각 원소와 평행한 몇 줄의 원소들만 값을 갖고, 그 이외의 모든 원소들은 모두 0인 행렬이다.

띠 행렬

 

부울행렬(boolean matrix)

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부울행렬(boolean matrix)은 행렬의 모든 원소가 부울값 0과 1로만 구성된 행렬이다.

두 부울행렬 A = [aij], B = [bij]에 대한 연산은 다음과 같다.

• 합(join): A v B = [aij ∨ bij]
• 교차(meet): A ∧ B = [aij ∧ bij]
• 부울곱(boolean product):

부울곱

예시)

부울 합,교차,부울곱

 

부울행렬 연산의 특징

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1. A ∨ A = A
2. A ∧ A = A
3. A ∨ B = B ∨ A
4. A ∧ B = B ∧ A
5. (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
6. (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
7. (A ☉ B) ☉ C = A ☉ (B ☉ C)
8. (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
9. (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

 

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