[이산수학] 고유벡터와 고유값

고유벡터와 고유값

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• 고유벡터와 고유값: 정방행렬 A에 대해 AX = λX(X≠0)을 만족하는 X를 고유벡터, 스칼라 λ를 고유값이라고 한다.
• 의미1: 벡터 x에 대해 n 차 정방행렬 A를 곱하는 결과와 상수 λ를 곱하는 결과는 같다라는 의미이다.
• 의미2: 행렬의 곱의 결과가 원래 벡터와 방향은 같고, 배율만 상수 λ 만큼만 비례해서 변했다는 의미이다.
• λ가 고유값이 되기 위해서는 역행렬 (λI –A)-1가 존재하지 않아야 한다.
• X 벡터가 0 (자명해)이 아닌 해를 갖기 위해서는 det(λI –A) ＝ 0이어야 한다.
• det(λI–A)를 A의 특성방정식이라 하고, 방정식을 만족하는 스칼라 λ 를 A의 고유값이라고 한다.

 

고유벡터와 고유값의 기하학적 의미

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AX ＝λX (X=(x,y)T)

• 우변식 λX 입장에서 해석: x,y를 값을 λ만큼 확장하면, 벡터 X가 방향은 변하지 않고 크기만 변한다.
• 좌변식 AX 입장에서 해석: X 벡터를 행렬 A가 선형변환 시킨다.
• 즉, X가 A의 고유벡터이면 AX는 X의 스칼라배이므로 고유값 λ의 값에 따라 AX는 X를 확장, 축소, 반대방향 등을 만든다.

고유벡터와 고유값

 

고유벡터와 고유값 예시)

 

 

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