[이산수학] 행렬과 연립일차방정식

연립일차방정식의 행렬 표현

---

• 해와 해집합: 일차방정식에 포함된 n개의 변수에 대응하는 값으로, 방정식을 참(T)으로 만드는 값과 그 값의 집합을 말한다.
• 연립일차방정식: m개의 일차방정식으로 구성된 방정식을 말한다.
• 계수행렬: 연립일차방정식의 계수들로 구성된 m x n 행렬을 말한다.
• 미지수행렬: 연립일차방정식의 미지수들로 구성된 n x 1 행렬을 말한다.
• 상수행렬: 연립일차방정식의 상수들로 구성된 m x 1행렬을 말한다.
• 첨가행렬: 연립일차방정식의 계수행렬 A와 상수행렬 B를 다음과 같은 형태로 구성한 행렬

첨가행렬

• 행 사다리꼴 행렬: 각 행의 0이 아닌 첫번째 원소가 1이고, 그 1을 포함하는 열에서 1의 아래쪽 원소가 모두 0인 행렬이다.
• 기약 행 사다리꼴 행렬: 행 사다리꼴 행렬에서 각 행의 0이 아닌 첫 번째 원소 1을 포함한 열의 나머지 원소가 모두 0인 행렬이다.
• 행 사다리꼴의 조건:

1. 어떤 행은 1열부터 0으로 구성된다.
2. 모든 행의 0이 아닌 첫 번째 원소는 1이다.
3. 모든 행의 0이 아닌 첫 번째 원소는 상위 행의 0이 아닌 첫 번째 원소보다 오른쪽 열에 위치한다.
4. 모든 원소가 0인 행이 있다면 행렬의 가장 마지막 행에 위치한다.

 

가우스 소거법

---

• 기본 행 연산:

1. 한 행에 0이 아닌 스칼라를 곱한다.

2. 스칼라곱을 한 행을 다른 행에 더한다.

※ 필요에 따라 행의 위치를 교환할 수 있다.

 

• 가우스 소거법 예시

 

가우스-조단 소거법

---

• 가우스-조단 소거법: 정방 행렬을 단위 행렬로 변환하여 연립방정식을 푸는 방법이다. 이 방법을 이용해 역행렬도 구할 수 있다.
• 가우스-조단 소거법 예시:

• 가우스-조단 소거법으로 역행렬 구하는 방법:

1. 원래 A 행렬에다 항등행렬 I 첨가하여 증가행렬 [A|I]를 만든다.

2. A 부분이 항등행렬로 바뀔 때까지 행 연산을 계속한다.

3. A 가 가역행렬인지를 확인한다.

3-1. A를항등행렬로 변환할 수 있으면 원래 I 위치에 있는 행렬이 A-1이 된다.

3-2. 만약 A의 행 연산 과정에서 한 행이 모두 0이 되면 A는비가역적 행렬이 므로 역행렬을 구하는 과정을 중단한다.

• 가우스-조단 소거법으로 구하는 역행렬 예시:

 

궁금한 것이나 잘못된 것이 있다면 댓글에 남겨주세요!