[이산수학] 함수

함수의 개념

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• 함수: 집합 A에서 집합 B로 가는 관계가 성립할 때, 집합 A의 원소 a에 대하여 집합 B의 원소 b 하나가 대응되는 관계를 말한다.
• 원상: 집합 B의 원소 b와 대응하는 집합 A의 원소 a를 말한다.
• 상: 집합 A의 원소 a에 대응하는 집합 B의 원소 b를 말한다.
• 정의역: 원상의 집합, 집합 A를 말한다.
• 공역: 상이 포함된 집합, 집합 B를 말한다.
• 치역: 상의 집합, 집합 B의 부분집합, ran(f) = {f(a) | a ∈ A}

 

• 관계와 함수의 차이

• 관계: 집합 A(정의역)의 어떤 원소는 집합 B(공역)의 원소와 전혀 대응하지 않거나 하나 이상의 원소와 대응할 수 있다.
• 함수: 집합 A(정의역)의 모든 원소는 집합 B(공역)의 원소 하나와 반드시 대응해야 한다.

함수인 경우

함수가 아닌 경우

 

함수의 성질

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• 단사 함수: 모든 x, y ∈ A에 대해서 x ≠ y이면 f(x) ≠ f(y)인 함수이다. (x1, y) ∈ f이고 (x2, y) ∈ f이면 x1 = x2이다.
• 전사 함수: f(A) = B인 함수이다. 즉, Ran(f) = B이다. ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x)이다. 치역과 공변역이 같아지는 함수이다.
• 전단사 함수: 단사 함수이면서 전사 함수인 함수를 말한다. 전단사 함수가 되기 위해서는 정의역의 원소 개수와 공역의 원소 개수가 같아야 하고 서로 다른 정의역 원소가 서로 다른 공역 원소와 대응해야 한다.

 

합성함수

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• 합성함수: 두 함수 f: A → B와 g: B → C가 있을 때, 집합 A의 각 원소를 집합 C의 원소에 대응하는 함수이다. g ○ f = (g ○ f)(x) = g(f(x)), x ∈ A

합성함수

• 합성함수의 성질

1. f와 g가 단사함수이면, g ○ f도 단사함수이다.
2. f와 g가 전사함수이면 g ○ f도 전사함수이다.
3. f와 g가 전단사함수이면 g ○ f도 전단사함수이다.
4. g ○ f가 단사함수이면, f도 단사함수이다.
5. g ○ f가 전사함수이면, g도 전사함수이다.
6. g ○ f가 전단사함수이면, f는 단사함수이고 g는 전사함수이다.

 

함수의 종류

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• 항등함수(IA): 집합 A에 대한 함수 f: A → A가 f(a) = a로 정의되는 관계이다. 함수의 정의역, 공역, 치역 모두 상등하며 단사함수, 전사함수, 전단사함수 모두 만족한다.
• 항등함수의 합성: 함수 f: A → B가 있고 집합 A에 대한 항등함수가 IA, 집합 B에 대한 항등함수가 IB일 때, f ○ IA = IB ○ f = f
• 역함수(f-1): 전단사함수 f: A → B에 대해 B → A로 대응되는 관계 a ∈ A, b ∈ B에 대해 f(a) = b일 때, f-1(b) = a이다. (f(a): 가역함수, f-1(b): 역함수)
• 가역함수: 전단사함수로 역함수가 존재하는 함수를 말한다. 단사함수이거나 전사함수인 경우, 역함수를 구할 수 없다.
• 항등함수와 역함수의 관계: 전단사함수 f: A → B에 대하여 다음이 성립한다.

f-1 ○ f = IA

f ○ f-1 = IB

• 합성함수의 역함수: 전단사함수 f: A → B, g: B → C에 대하여 다음이 성립한다.

(g ○ f)-1 = f-1 ○ g-1

• 상수함수: 함수 f: A → B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소 하나에만 대응하는 관계를 말한다. ∀a ∈ A, ∃b ∈ B에 대해 f(a) = b

상수함수

• 특성함수(fA): 전체집합 U의 부분집합인 A에 대하여 다음과 같은 출력을 같는 함수를 말한다.

특성함수

• 바닥함수 또는 최대정수함수:

바닥함수

• 천장함수 또는 최소정수함수:

천장함수

 

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